I: Road Times
問題
n 頂点 m 辺の有向グラフが与えられる。
各辺は距離[km]が与えられる。
あなたが頂点uからvへ移動するときには、必ず距離が最短に成るように移動する。
各辺は速度が定数で制限されており、それは時速30km以上60km以下の実数の定数で、あなたはその辺を通るときはちょうどその速度で移動する(要はx[km]の辺はx~2x[min.]の実数の定数時間が掛かる)。
その速度の定数は分からないが、情報としてr個のヒント(出発点、到達点、時間[min.])が与えられる。
q個の質問:「頂点sからdに移動するときに掛かる、最短時間と最長時間を出力」に答えよ。
制約
グラフは隣接行列で与えられる
1 <= n <= 30
m <= 100
1 <= r <= 100
1 <= q <= 100
r + q 個の出発点・到達点の全てのペアには唯一の最短経路が存在し、r個の時間のヒントは正当で矛盾がない。
解法
線形計画法が解けますか?
問題文を意訳するとこれに尽きる。
1 (最短経路):
最短経路も自明ではないので一応考えると、サイズの小さい行列で与えられるのでFloyd-Warshallが良い。
最短経路の辺が列挙できるように出発点から向かう頂点もDPで求める。
FW[i][j] := iからjへ移動するときの最短距離 nxt[i][j] := iからjへ移動するとき、iの次に進むべき頂点 FWを隣接行列で初期化。辺が無いところは無限、FW[i][i]は使わないので0でも何でもいい。 nxt[i][j] = jで初期化 REP (k, n) REP (i, n) REP (j, n) if FW[i][j] > FW[i][k] + FW[k][j] then FW[i][j] = FW[i][k] + FW[k][j] nxt[i][j] = nxt[i][k]
FW法は中継点kが外側のループである必要がある。
2 (線形計画):
長さc_e[km]の辺eを移動するときに掛かる時間x_e[min]は c_e <= x_e <= 2 c_e 。
頂点s_j, d_j間の最短経路の辺集合をE_jとして、その時の時間がt_jがわかっているので sum_{e in E_j} x_e = t_j 。
これらが線形計画問題の制約条件。
目的関数は同様に、クエリの最短経路の辺集合をEとした時、
min and max : sum_{e in E} x_e
線形計画法は単体法一択だが、コードが書けるならAC、書けないなら終わり。
私は書けないのでindy256先生のコードをc++, doubleに移植した。
Simplex algorithm - Algorithms and Data Structures
制約条件が変わらないので、単体法の計算を一部使い回すこともできるがTLEの心配はなさそう。
コード
#include<cassert> #include<cstdio> #include<iostream> #include<vector> #include<algorithm> #include<string> #include<cstring> using namespace std; typedef long long LL; typedef vector<int> VI; #define REP(i,n) for(int i=0, i##_len=(n); i<i##_len; ++i) #define EACH(i,c) for(__typeof((c).begin()) i=(c).begin(),i##_end=(c).end();i!=i##_end;++i) #define eprintf(s...) fprintf(stderr, s) template<class T> inline void amin(T &x, const T &y) { if (y<x) x=y; } template<class T> inline void amax(T &x, const T &y) { if (x<y) x=y; } // max c * x s.t. A*x <= b, x >= 0 struct Simplex { const double EPS = 1e-8; typedef double Double; typedef vector<Double> Arr; typedef vector<Arr> Mat; bool LT(Double a, Double y) { return y-a > EPS; } bool EQ(Double a, Double y) { return abs(a-y) < EPS; } bool LE(Double a, Double y) { return y-a > -EPS; } bool infinity; bool none; Double ans; vector<Double> x; Simplex(const Mat &A, const Arr &b, const Arr &c) : infinity(false), none(false) { int m = A.size(), n = A[0].size() + 1; VI index(n+m); REP (i, n+m) index[i] = i; Mat a(m+2, Arr(n+1, 0)); int L = m; REP (i, m) { REP (j, n-1) a[i][j] = -A[i][j]; a[i][n-1] = 1; a[i][n] = b[i]; if (a[L][n] > a[i][n]) L = i; } REP (j, n-1) a[m][j] = c[j]; a[m+1][n-1] = -1; for (int E=n-1;;) { if (L < m) { swap(index[E], index[L+n]); a[L][E] = 1 / a[L][E]; REP (j, n+1) if (j != E) a[L][j] *= -a[L][E]; REP (i, m+2) if (i != L) { REP (j, n+1) if (j != E) { a[i][j] += a[i][E] * a[L][j]; } a[i][E] = a[i][E] * a[L][E]; } } E = -1; REP (j, n) if (E < 0 || index[E] > index[j]) if (LT(0, a[m+1][j]) || (EQ(a[m+1][j], 0) && LT(0, a[m][j]))) E = j; if (E < 0) break; L = -1; REP (i, m) if (LT(a[i][E], 0)) if (L < 0 || LE(a[L][n] / a[L][E], a[i][n] / a[i][E])) L = i; if (L < 0) { infinity = true; return; } } if (LT(a[m+1][n], 0)) { none = true; return; } x.assign(n-1, 0); REP (i, m) if (index[n+i] < n-1) x[index[n+i]] = a[i][n]; ans = a[m][n]; } }; int N, M, R, Q, Z; int FW[31][31], nxt[31][31], E[31][31], e_id[31][31]; int H[31][31]; int main() { // input memset(e_id, -1, sizeof e_id); scanf("%d", &N); REP (i, N) REP (j, N) { scanf("%d", E[i]+j); if (i == j) FW[i][j] = 0; else if (E[i][j] == -1) FW[i][j] = 1<<29; else { FW[i][j] = E[i][j]; e_id[i][j] = M++; } nxt[i][j] = j; } REP (k, N) REP (i, N) REP (j, N) if (FW[i][k] + FW[k][j] < FW[i][j]) { FW[i][j] = FW[i][k] + FW[k][j]; nxt[i][j] = nxt[i][k]; } // hints Simplex::Mat A; Simplex::Arr b; scanf("%d", &R); Z = M; REP ($, R) { int s, d, t; scanf("%d%d%d", &s, &d, &t); H[s][d] = t; Simplex::Arr a(Z, 0); double k = t; while (s != d) { int v = nxt[s][d]; int id = e_id[s][v]; a[id] = 1; k -= E[s][v]; s = v; } A.push_back(a); b.push_back(k); REP (i, Z) a[i] = -a[i]; k = -k; A.push_back(a); b.push_back(k); } REP (i, N) REP (j, N) if (e_id[i][j] != -1) { A.push_back(Simplex::Arr(Z, 0)); b.push_back(E[i][j]); A.back()[e_id[i][j]] = 1; } // queries scanf("%d", &Q); REP ($, Q) { int s_, d; scanf("%d%d", &s_, &d); int s = s_; Simplex::Arr c(Z); double offset = 0; while (s != d) { int v = nxt[s][d]; int id = e_id[s][v]; c[id] = -1; offset += E[s][v]; s = v; } double lo, hi; if (H[s_][d] != 0) { lo = hi = H[s_][d]; } else { REP (t, 2) { Simplex X(A, b, c); if (t == 0) { if (X.none) lo = H[s_][d]; else lo = -X.ans + offset; REP (i, Z) c[i] = -c[i]; } else { if (X.none) hi = H[s_][d]; else hi = X.ans + offset; } } } printf("%d %d %.9f %.9f\n", s_, d, lo, hi); } return 0; }
